森蘭

編結量子計算

量子位元的特殊性質，令科學家對量子計算興致勃勃。如果能再結合數學上拓撲的概念，或可創造出新的量子計算方式。 撰文╱柯林斯（Graham P. Collins） 翻譯／高涌泉

我們可以利用特殊粒子世界線（軌跡）的絞辮來執行量子計算，這種計算對於普通（古典）電腦來說是無能為力的。我們所用的特殊粒子存在於一種稱為二維電子氣的流體中。

量子電腦為什麼有更強的計算能力？答案在於量子電腦所處理的資訊是以量子位元代表，而非普通位元。一個普通的古典位元只能是0或1；標準的微晶片架構很嚴謹地在執行這種古典二分法。但是相對而言，一個量子位元則可以處於一種所謂的「疊加狀態」，這是一種可以讓0的一部份與1的一部份共存的狀態。我們可以把可能的量子位元狀態看成是球面上的一點。北極代表古典狀態1，南極是0，所有介於兩者之間的點則代表0或1的所有可能疊加狀態（見2003年1月號〈奇妙的量子棋步〉）。量子電腦之所以具有特殊能力，原因就在於量子位元能夠自由地在整個球面上漫遊。

可惜的是，量子電腦似乎非常難製造。一般而言，我們利用局限於某個地方的粒子（例如單獨的原子離子或電子）的某些量子性質，來代表量子位元。但是它們的疊加狀態極為脆弱，只要它們和周遭環境（包括所有組成電腦的材料）有一點點不期而來的交互作用，那麼疊加狀態就會被破壞。如果量子位元不能和環境仔細地隔絕起來，這種干擾就會造成計算上的錯誤。

因此在設計量子電腦時，絕大多數將焦點置於減少量子位元與環境的交互作用。研究人員知道，一旦錯誤率可以降低到每一萬步計算約只會出現一次，修正錯誤的步驟就可以用於補償個別量子位元的衰落。可以運作的量子電腦需要含有大量的量子位元，而每個量子位元與環境的隔離必須好到讓錯誤率如前述的那樣低，建造這樣的量子電腦是極困難的工作，物理學家距離成功還很遙遠。

有一些研究者試圖走另一條很不一樣的路來建造量子電腦。在這個新辦法裡，脆弱的量子狀態所依賴的是物理系統的拓撲性質。拓撲是一門數學，它研究的對象是物體在平滑變形（例如伸長、擠壓、彎曲、但不得切斷或連接起來）之下仍會保持不變的性質。拓撲涵蓋的項目之一是扭結（knot）理論。微小的擾動並不會改變物體的拓撲性質。例如，一條弦綁成一個扭結的封閉迴圈，和沒有扭結的封閉迴圈相比，在拓撲上兩者是不同的（見65頁〈拓撲與扭結〉）。將沒有扭結的封閉迴圈變成一個封閉迴圈加上扭結的唯一辦法是切斷弦，綁出扭結，再將弦的兩端封起來。同樣的，要把一個拓撲量子位元轉變成另一種狀態，也非得利用類似的激烈方式不可，來自環境的一點點推擠是改變不了拓撲量子位元的。

乍看之下，拓撲量子電腦根本不像是個電腦。它用來計算的是結成絞辮的弦，而不是傳統意義上的實體弦。這種用於計算的弦是物理學家所稱的世界線，它所代表的是穿過時間與空間的粒子。（你可以這麼想像：這樣一條弦的長度代表粒子在時間軸上的運動，其厚度則代表粒子的實體大小。）此外，這種計算所牽涉到的粒子並非你最初可能想像的電子或質子。其實這種量子電腦所牽涉到的粒子是準粒子（quasiparticle），它是二維電子系統的激發態，它們的行為和高能物理中的粒子與反粒子很像。這些粒子還有個麻煩之處：它們是一種特別型態的準粒子，稱為任意子，具有建構量子電腦所需要的數學性質。

執行一次這種量子計算的過程大約是這樣子的：首先，創造許多對任意子，將它們沿著一條線排列。（見66頁〈拓撲量子計算的原理〉）每一對任意子就如同一個粒子與其反粒子，是純粹由能量所創造出來的。

其次，以明確的順序讓一對對相鄰的任意子彼此環繞。每一個任意子的世界線基本上就構成一條線，任意子這種對調的運動便製造出了一串這些世界線的絞辮。量子計算就藏在如此形成的特定絞辮裡。任意子的最終狀態存放了計算的結果，這狀態的性質取決於絞辮，而非任何偶然的電磁交互作用。同時絞辮是拓撲性的（把線搖動一下並不會改變絞辮），所以它在本質上就不受外界的影響。目前在微軟工作的基塔耶夫（Alexei Y. Kitaev）首先於1997年，提出以這種方式來利用任意子執行計算。

目前也在微軟從事研究的傅利曼（Michael H. Freedman）於1988年秋天在哈佛大學演講，主題就是利用量子拓撲進行計算的可能性。他在1998年發表了一篇研究論文，闡述了他的想法。傅利曼的想法奠基於一項數學發現：某些屬於「結不變量」的數學量，和二維曲面隨著時間而演變的量子物理有關。如果我們可以創造物理系統的某個狀況，同時對它做適當的測量，就可以約略自動計算出結不變量，不然我們就得透過傳統電腦執行冗長又不方便的計算。我們也可以利用類似的捷徑來執行同樣困難、但有實際應用價值的計算。

雖然這一切聽起來只不過是和現實無關的理論玄想而已，但是最近對於分數量子霍爾效應的實驗，已經讓任意子的想法比較扎實一些，研究者已經設想出更多的實驗以便執行初步的拓撲量子計算。

任意子

前面提過，拓撲量子電腦藉由交換粒子的位置，來把粒子的世界線纏成絞辮。量子物理與古典物理的基本差異之一就在於粒子在對調之後，它們的狀態究竟為何。在古典物理中，如果你在位置A和B各放置一個電子，然後再對調這兩個電子，那麼兩個電子最後的狀態和初始的狀態並沒有什麼不同，原因是電子是不可區分的粒子，所以我們也無法區分最終狀態與初始狀態。然而在量子力學中，情況就不是這麼簡單了。

為什麼？因為量子力學是用波函數來描述粒子的狀態。這個函數涵蓋了粒子所有的性質，包括在各處找到粒子的機率、測量到粒子具有各種速度的機率等。譬如說，如果波函數在某個區域有很大的量值，則我們就比較可能在那裡發現粒子。

我們用一個共同的波函數來描述一對電子。當兩個電子交換之後，波函數會和原來的波函數相差了一個負號。這個改變將波峰變成波谷、波谷變成波峰。但波動的振幅大小不會受到影響。

事實上，兩個電子互換並不會影響兩個電子本身可以測量的量，真正受到影響的，是如何與其他的電子干涉。當我們將兩個波疊加起來，就會有干涉現象。兩個波相互干涉，若波峰和波峰落在一起，則波幅就會增高（此即「建設性干涉」）；如果波峰和波谷落在一起，則疊加的波幅就會降低（此即「破壞性干涉」）。如果彼此干涉的兩個波之一改變了本身正負號（即此波函數多乘了-1這個因子），則此波的波峰與波谷就會對調，而將建設性干涉之處（一個亮點）變成破壞性干涉（一個暗點）。

電子並不是唯一會因為交換位置而改變波函數正負號的粒子，質子、中子、以及任何一個所謂的「費米子」也會如此。與費米子不同的另一大類粒子是「玻色子」，兩個玻色子對調時，它們的波函數維持不變，可以說此波函數乘上了+1這個因子。

數學上我們可以證明，三維空間中的粒子只可能是費米子或是玻色子。但是在二維空間，粒子卻不必然是費米子或是玻色子，它們還可能是「任意子」：當兩個這種粒子對調時，波函數會乘上一個絕對值等於1的複數（相位）因子。我們可以用角度來代表此複數因子：0度所對應的因子為1，180度對應的因子為-1，0度與180度之間的角度對應到某個複數。例如，90度對應到虛數i，即-1的平方根。就如同把波函數乘以-1不會影響個別粒子的可測量性質，將波函數乘上絕對值等於1的複數也不會影響個別粒子的可測量性質，因為那些可測量的性質只和波動的振幅大小有關。不過這項額外的複數因子卻可以改變兩個複數波相互干涉的情形。

任意子之所以稱為任意子，是因為任意一個複數相位因子都可能出現，而不是像玻色子或費米子那樣，只能多出+1或-1的因子而已。

平面上的電子

任意子只能存在於二維的世界；這麼一來，我們如何能夠在真實的三維世界中，製造出可用來執行拓撲計算的一對對任意子？答案在於量子粒子的平面世界。我們可以小心地製作兩片砷化鉀半導體，以使得一層電子「氣」能夠存在於界面上。這些電子可以在二維界面上自由運動，但是無法在垂直於界面的第三維空間上運動。物理學家已經仔細研究過這種電子系統（稱為二維電子氣），尤其是當系統在極低溫下並處於強磁場中的行為，因為在這些條件之下，電子氣會展現不尋常的量子性質。

例如，在分數量子霍爾效應中，電子氣的激發態就像是帶有不到一個電子電荷的粒子。其他的激發態則可以將磁通量完整帶在身邊，就好像這些磁通量是粒子的一部份。2005年，紐約州立大學石溪分校的高德曼（Vladimir J. Goldman）、卡密諾（Fernando E. Camino）與周威宣稱，他們已用實驗直接證明了出現於分數量子霍爾效應中的準粒子是任意子，對於用拓撲方式來從事量子計算而言，這是關鍵的一步。然而就這些準粒子是否真的具有任意子性質來說，仍有一些研究者還在尋找其他證據，因為某些非量子效應可能可以造成高德曼等人所看到的結果。

【意猶未盡嗎？欲閱讀完整全文，請參閱科學人2006年5月號〈編結量子計算〉】